게임 전략과 수학의 만남, 수학동아 폴리매스 polymath 사이트에서 마음에 드는 콘텐츠를 찾아보세요

<수학동아>

- 2019. 12호 -

수학동아 폴리매스(http://www.polymath.co.kr/) 사이트에는 다양한 컨텐츠가 가득해요!

수학과 게임의 만남을 좋아하는 아이라면

[수행평가] 메뉴 내 [R&E] 페이지, 보드게임 관련 기사들을 보여주세요~

기사 글 중에서 다음 문구가 아이에게 희망을 줍니다.

"아무리 수학을 좋아하는 사람도 새로운 수학 개념을 배울 때는 긴장하기 마련이에요. 

처음 보는 공식과 문제를 이해하지 못해 

수학책이 꼭 외국어 소설 같은 느낌이 들지요." 

^_^

수학 교수님도 그렇구나, 싶어 아이는 오늘도 도전해 봅니다!

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "페그" 보드게임

페그는 ‘말뚝’, 솔리테어는 ‘인내심’이라는 뜻으로, 페그 솔리테어는 300년 동안 사랑을 받고 있는 고전 게임이에요~ 

규칙은 간단합니다. 

페그(구슬 또는 말) 여러 개를 보드판에 올려놓고, 페그 하나를 잡아 

가로 또는 세로 방향으로 옆에 있는 페그를 하나씩 뛰어넘어 빈자리가 있는 곳으로 페그를 이동시킵니다.

건너뛴 페그는 보드판에서 빼요. 

보드판에 페그가 한 개 남으면 게임 끝! 

보통 혼자 하는 게임이지만, 두 사람이 번갈아 하다가 

더 이상 페그를 움직일 수 없는 사람이 지는 걸로 규칙을 바꿀 수 있어요~

사실 이 페그 게임 규칙을 응용한 다양한 보드게임들도 존재하죠! ^_^

말을 평평하게 해서 말 위에 수나 식을 기입해 놓고 

전략과 함께 연산 능력도 동시에 기르는 게임들이 있는데, 효과 좋지요~b 팁입니다!ㅎㅎ

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "틱택토" 보드게임

틱택토는‘삼목’게임과 비슷해서 3×3 게임판의 빈칸에 O,x를 표시해 같은 모양이 세 개 놓으면 이기는 게임이죠~

게임을 좀 더 재밌게 하기 위해 2006년 미국 스크랜턴대학교 수학과 교수였던 스티븐 도허티는 새로운 규칙을 추가해

‘아핀평면 틱택토’를 소개했어요!

원래 틱택토에서는 삼목을 만들 수 있는 모양이 가로세로 각각 3개, 대각선 2개로 총 8개 인데,

아핀평면 틱택토에서는 위 이미지에서 보듯 삼목을 만들 수 있는 모양이 총 12개예요~

아핀평면 틱택토는 일반적인 틱택토보다 삼목을 만들 수 있는 경우가 많기 때문에 그만큼 전략도 다양한데,

이를 두고 수학적으로 풀이를 낼 수 있다는 게 

기사를 읽을 때마다 느끼지만 신기할 따름이예요~ ^_^

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "콰트레인먼트" 보드게임

가로세로 4칸씩 총 16칸으로 이뤄진 사각형 보드 위에서 하는 게임, 콰트레인먼트는 ‘4행시’라는 뜻이라네요~

1984년 미국의 소프트웨어공학자 숀 퍼켓이 ‘COMPUTE! (계산!)’이라는 잡지에 처음 소개하면서 유명해졌고,

1988년에 미국 데이턴대학교 수학과 교수인 톰 간트너가 수학적으로 분석해 해법을 찾아냈다고 해요.

콰트레인먼트를 즐기려면 우선 16칸 보드 두 개가 필요 합니다.

두 보드 중 하나를 ‘출발 보드’, 다른 하나를 ‘도착 보드’라고 해요.

두 보드의 빈칸 중 일부에 X가 있는데, 

게임의 목표는 시작보드에 있는 X의 위치를 도착보드에 있는 X의 위치와 똑같이 만드는 거예요~

X와 빈칸은 동전의 앞뒷면과 같아서 X를 뒤집으면 빈칸이고, 빈칸을 뒤집으면 X죠.

한 칸씩 골라서 X를 뒤집을 때는 미리 정해둔 세 가지 모양에 맞춰 각 모양에 속한 칸을 함께 뒤집어야 합니다.

16칸 중 어떤 칸을 고르냐에 따라 모양이 다르니 주의해야 하죠~

수학동아 폴리매스에서

이 제약규칙을 지키면서 도착보드로 완성시키기 위해 경우의 수와 행렬을 사용해 수학적으로 풀이를 해주어요! WoW..

수행평가 내 R&E 기사를 참고해 보세요~

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "촘프" 보드게임

촘프는 미국의 수학자이자 경제학자인 데이비드 게일이 만든 게임이라고 합니다. 

게일은 게임이론, 램지이론 등을 연구하면서 촘프, 브릿짓 같은 보드게임도 만들었다고 해요~

촘프는 ‘음식을 쩝쩝 먹는다’는 의미 그대로 초콜릿을 먹으면서 하는 게임이라는데

아이와 함께 ABC 또는 가나 초콜렛을 놓고 먹는 게임하면 좋을 것 같죠~ ^^

규칙도 간단해요, 격자 모양 사각형 초콜릿을 준비하고 왼쪽 맨 아래 조각을 독이 든 조각으로 정해 놓고

상대와 번갈아 가며 초콜릿을 먹다가 독이 든 초콜릿 조각을 먹는 사람이 지는 게임이죠~

늘 놀랍지만 이런 간단한 먹는 게임에도 승리 전략이 숨어 있어요!

이를 수학동아 잡지에서 볼 수 있죠.

지난 기사는 폴리매스 사이트에서 기사를 다운로드해 볼 수 있습니다. ^_^

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "마스터마인드" 보드게임

마스터마인드 보드게임은 상대방이 낸 암호를 맞히는 거예요. 

1970년 이스라엘의 게임 디자이너이자 통신 기술 전문가인 모데 카이 메이로위츠가 개발했다고 합니다.

이스라엘 보드게임 중 재미난 것들 참 많은데 이 또한 그러하죠~ ^_^

 

보드판의 각 행에는 작은 구멍 4개와 큰 구멍 4개가 있고, 행은 난이도에 따라 개수가 다른 데 보통 12개 있습니다. 

그 위에 여섯 종류의 색을 가진 구슬, 그리고 빨간 색과 흰 색의 작은 핀이 있지요. 

두 사람이 하는 게임으로

한 사람은 암호작성자고, 다른 사람은 암호해독자가 되어,

암호작성자는 

여섯 색깔의 구슬 중 중복에 상관없이 4개를 선택해 보드판 위 따로 마련된 자리(그림❶)에 숨겨놓고

암호해독자는 

구슬의 색을 추측해 첫 행(그림❷)부터 구슬을 4개씩 놓습니다. 

만약 숨겨놓은 구슬의 위치와 색이 맞으면 암호작성자는 빨간 핀(그림❸)을 작은 구멍에 꽂고, 

구슬 색은 같고 위치가 다르면 흰색 핀을 꽂죠. 

이 두 경우에 해당하지 않으면 핀을 꽂지 않습니다. 

이 과정을 반복해서 12행에 이르기 전에

구슬의 색과 위치를 모두 맞히면 암호해독자가 이기고, 그렇지 않으면 암호작성자가 이깁니다.

한 게임이 끝나면 역할을 바꿔 진행하고, 게임을 몇 번 할지 정해 많이 이긴 사람이 최종 승자가 되는 게임이예요~

이런 게임 너무 너무 좋아용~~~♥

ㅎㅎㅎㅎㅎ

일종의 심리 게임 같기도 하고.. ^_^

이스라엘 보드게임 중 마스터마인드와 유사한 '레이오브라이트(RAY OF LIGHT)'보드게임도 재밌죠~b

마스터마인드를 수학적으로 분석한 사람을 수학동아 폴리매스 R&E 기사에서 만나볼 수 있는데요,

미국의 컴퓨터 과학자이자 스탠퍼드대학교의 명예교수인 도널드 크누스는 1976년 ‘유희수학’에 

마스터마인드에 관한 논문을 발표했는데,

구슬의 색을 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 나타냈고

구슬 4개로 이뤄진 암호는 중복을 허락해서 숫자를 뽑는 것으로 생각했습니다. 

따라서 암호는 총 6의 4승, 1296개 만들 수 있으며

이 방법으로 단계별로 제시할 숫자를 알려주는 알고리듬을 만든 뒤 

‘많아야 다섯 번 안에 암호를 맞출 수 있다’는 사실을 증명했다고 해요~

그렇죠! 다섯 번 안에 암호를 맞출 수 있어요~ 하다보면 전략이 늘고 깨닫게 되는데

이를 초반부터 수학적으로 증명했다는 게 흥미롭습니다! ^_^

수학자는 이렇게 다른가 보아요~ 

어느 과학책에서 이런 말이 나와요, 예술가들이 직감적인 능력을 발휘하면 

과학자들은

예술가들이 설명하지 못하는 변화의 과정을 현실적으로

분석, 고안해 낸다!

과학토론 융합형창의영재발굴 사고력심화 과학전집필독서 사이언싱오디세이

03. 스파이

http://blog.daum.net/lovelycutekids/4085

크누스 교수의 증명에서 알고리듬이 제시한 숫자로 어떻게 암호를 알아내는지는 

수학동아 폴리매스 R&E 기사에서 확인해 보세요~ ^_^

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "라이트아웃" "매직스퀘어" 보드게임

불 끄는 게임의 원조, 매직 스퀘어는 

1978년 미국 항공우주국 출신 게임 디자이너 밥 도일이 선보인 ‘메를린’이라는 게임기 속 게임 중 하나예요.

가로, 세로 각각 3칸으로 이뤄진 버튼의 불을 끄고 켜서 결과적으로 가운데 불 만 꺼지도록 만드는 게임인데,

버튼을 누르면 이웃한 버튼의 불도 꺼지고 켜져서 생각보다 쉽지 않습니다. 

예를 들어 모퉁이의 버튼을 누르면

해당 버튼과 그 버튼에 이웃한 버튼 2개와 대각선 버튼까지 총 4개의 불의 상태가 바뀌어요(그림❶).

모서리 가운데 버튼을 누르면

양옆에 이웃한 버튼 2개를 포함해 버튼 3개의 상태가 바뀌고(그림❷), 

가운데 버튼을 누르면 

상하좌우 버튼까지 총 5개의 상태가 바뀌지요(그림❸). 

1987년 캐나다 수학자 도널드 펠티에는 

벡터를 이용해 불이 꺼지고 켜진 상태를 나타내

매직 스퀘어를 잘 할 수 있는 전략을

미국 수학회에서 발행하는 학술지 ‘미국 월간 수학’에 소개 했다고 해요~

라이트 아웃은 1995년 미국에서 만들어진 게임기로

가로, 세로 각각 5칸에 불을 끄고 켤 수 있는 버튼이 있고

버튼을 누르면 그 버튼과 가로와 세로로 이웃한 불의 상태가 반대로 바뀌지만

매직스퀘어와 달리 대각선은 바뀌지 않습니다. 

매직 스퀘어와 라이트 아웃 모두 일차 연립방정식을 세워 해결할 수 있데요~!

수학동아 폴리매스 R&E 기사에서 확인해 볼 수 있습니다.

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "15퍼즐" 보드게임

정사각형 틀 안에 사각형 타일이 나란히 놓여 있고 1칸은 비어 있어 다른 타일을 빈칸으로 움직여서

그림 퍼즐을 맞추는 게임을 어릴 때 한 번쯤은 해본 적 있죠? ^^

그 게임의 정확한 명칭은 '15퍼즐'이였군요!

1874년경 미국 카나스토타 마을의 우체국장이었던 노예스 채프먼이 개발한 게임으로

1880년에 미국과 유럽에서 선풍적인 인기를 끌었고, 이후 전 세계에 퍼져 나갔다고 합니다.

15퍼즐을 보면 액자처럼 생긴 정사각형 틀 안에 1부터 15까지의 숫자가 적힌 사각형 타일이 나란히 놓여 있고

가로세로 4개씩 총 16개 타일이 들어갈 수 있지만, 

1칸을 비워둬서 다른 타일을 빈칸으로 움직일 수 있도록 했어요.

그러면 옮긴 타일이 있던 자리가 비니까 또 다른 타일을 옮길 수 있지요. 

무작위로 배열된 타일을 옮겨 타일에 적힌 숫자를 오름차순으로 배열하면 게임이 끝나는 거였데요~

왠지 그림 맞추기가 더 재밌을 것 같은데요~ ㅎㅎㅎ

숫자 정렬이나 그림 맞추기나 방법은 비슷한 15퍼즐 입니다. ^_^

1878년, 퍼즐리스트로 잘 알려진 미국의 체스 선수 샘 로이드는 표준 배열에서 14, 15번 타일 의 자리만 바꾼 배열을 

표준 배열로 만드는 사람에게 당시 돈으로 1000달러(약 109만 원)를 준다고 했다는군요! 그런데 수학 이론을 이용해 분석하면 

이 배열을 표준 배열로 바꾸는 것은 불가능하다고 합니다..

그 이유를 알아 보려면, 수학동아 폴리매스 R&E 기사를 참고하세요~

폴리매스 수행평가 R&E 기사, "모리스" 보드게임

‘9명의 모리스’는 지금까지 소개한 게임 중 가장 오래된 게임이에요. 

기원전 27년경에는 로마에서, 10세기경에는 인도에서도 이 게임을 즐겼다고 알려져 있어요.

9명의 모리스를 즐기려면 먼저 두 사람이 바둑돌처럼 색이나 모양이 다른 말을 9개씩 준비합니다.

말을 놓을 판은 만들거나 사지 않아도 점 24개로 이뤄진 판의 모양을 알고 있으면 땅이나 모래 바닥에 쉽게 그릴 수 있습니다.

 목표는 항상 ‘밀’을 만들어 상대방 말을 없애는 것으로

밀은 오목에서 바둑돌 5개를 일렬로 놓는 것처럼 자기 말 3개가 가로 또는 세로로 일렬로 놓인 상태를 뜻해요~

게임판에 밀을 만들 수 있는 영역이 가로세로 8개씩 총 16개 있어서

밀을 하나 만들 때마다 상대방 말을 하나씩 없앨 수 있어요.

따라서 게임에서 이기려면 밀을 만들면서 상대방이 밀을 만들지 못하도록 애써야 하죠!

1998년 스위스의 소프트웨어 공학자 랄프 개서는 전수조사를 이용해 게임이 어느 정도 진행된 2단계 상황에서

판 위에 있는 검은 말과 흰 말의 수에 따라 검은 말이 이길 수 있는 확률을 분석해

3차원 막대 그래프로 나타냈다는 게 전부이고

9명의 모리스 게임에서 반드시 이길 수 있는 전략은 아직 밝혀지지 않았다고 하니, 도전해 보세요~ ^^

아쉽게도 모리스를 끝으로 보드게임 전략 속 수학 증명은 막을 내립니다..힝ㅠㅠ

하지만 수학동아 폴리매스에는 이외에도 볼거리가 참 많아요~*

10년간 수학기사를 모아 놓은 수행평가자료실,

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수학동아 콘텐츠평가단으로 선정되어 제공받은 잡지로 작성한 포스팅입니다

수학동아 콘텐츠평가단 모집문의 : soccer825@donga.com

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